두 자연수 \(a, b\)에 대하여 \(\sqrt{2^a \times 5^b}\) 이 자연수가 되도록 하는 \(a + b\)의 최솟값을 \(m\)이라 하고, \(\log_2 a + \log_2 b = 4\) 와 위 조건을 동시에 만족시키는 모든 순서쌍 \((a, b)\)에 대하여 \(a + b\)의 최댓값을 \(M\)이라 할 때, \(m + M\)의 값을 구하는 과정을 논술하시오.

기울기가 \(-1\)인 직선 \(y = -x + k\) 가 두 함수 \(y = 2^x - 1\) 과 \(y = \log_2(x + 1)\) 의 그래프와 제\(1\)사분면에서 만나는 점을 각각 \(\text{A}, \text{B}\)라 하자. 선분 \(\text{AB}\)의 길이가 \(\sqrt{2}\) 일 때, 상수 \(k\)의 값과 삼각형 \(\text{OAB}\) (단, \(\text{O}\)는 원점)의 넓이를 각각 구하는 과정을 논술하시오.

\(0 \le x \le 2\pi\) 일 때, 방정식 \(\cos(\pi\sin x) = 0\) 의 서로 다른 모든 실근의 개수와 그 실근들의 합을 각각 구하는 과정을 논술하시오.

반지름의 길이가 \(R\)인 원에 내접하는 사각형 \(\text{ABCD}\)가 \(\overline{\text{AB}} = \overline{\text{AD}} = 2\sqrt{3},\; \overline{\text{BC}} = 4\) 이고 \(\angle\text{BAD} = \dfrac{2\pi}{3}\) 를 만족시킬 때, 외접원의 반지름 \(R\)의 값과 변 \(\text{CD}\)의 길이를 각각 구하는 과정을 논술하시오.

모든 항이 자연수인 수열 \(\{a_n\}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \[a_{n+1} = \begin{cases} a_n - 3 & (a_n \ge 4) \\ 2a_n + 1 & (a_n \le 3) \end{cases}\] 을 만족시킨다. \(a_4 = 3\) 이 되도록 하는 모든 첫째항 \(a_1\)의 값의 합을 구하는 과정을 논술하시오.

함수 \(f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x + 6 & (x < 2) \\ x + k & (x \ge 2) \end{cases}\) 에 대하여 함수 \(g(x) = \dfrac{x + 1}{f(x)}\) 이 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 상수 \(k\)의 값의 범위를 구하는 과정을 논술하시오.

최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)가 \(f(0) = 0\) 이고, 함수 \(g(x) = |f(x)|\) 가 \(x = 2\) 에서만 미분가능하지 않다. 방정식 \(f(x) = 0\) 의 모든 실근의 합을 구하고, \(f'(0) = 0\) 일 때 \(f(4)\)의 값을 구하는 과정을 논술하시오.

최고차항의 계수가 \(1\)인 사차함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(-x) = f(x)\) 와 \(f(x) \ge 0\) 을 만족시킨다. 함수 \(f(x)\)의 극댓값이 \(16\)이고 방정식 \(f(x) = 0\) 이 서로 다른 두 실근만을 가질 때, 함수 \(f(x)\)의 극솟값과 \(f(3)\)의 값을 각각 구하는 과정을 논술하시오.

양수 \(x\)에 대하여 함수 \[g(x) = \int_{0}^{x} |t^2 - 4|\,dt\] 라 할 때, \(g(3)\)의 값과 \(g'(3) + g'(1)\) 의 값을 각각 구하는 과정을 논술하시오.

수직선 위의 원점을 출발하여 움직이는 점 \(\text{P}\)의 시각 \(t\; (t \ge 0)\)에서의 속도가 \(v(t) = t^2 - kt + 6\) (\(k > 0\))이다. 점 \(\text{P}\)가 시각 \(t = 2\) 에서 운동 방향을 바꾸고, 다시 운동 방향을 바꾸는 시각을 \(t = a\) 라 할 때, 시각 \(t = 0\) 에서 \(t = a\) 까지 점 \(\text{P}\)가 움직인 거리를 구하는 과정을 논술하시오.